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已知f(x)=x2-6x-3x+1,g(x)=x3-3a2x-2a(a≥1),且它们定义域均为[0,1](1)求函数f(x)的最小值;(2)判断函数g(x)的单调性并予以证明;(3)若对任意t∈[0,1],总有g(x)≤f(t)在x∈[0,1]时恒成立,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)=
x
2
-6x-3
x+1
,g(x)=x
3
-3a
2
x-2a(a≥1),且它们定义域均为[0,1]
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)判断函数g(x)的单调性并予以证明;
(3)若对任意t∈[0,1],总有g(x)≤f(t)在x∈[0,1]时恒成立,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由题意,
f
/
(x)=
x
2
+2x-3
(x+1)
2
令
f
/
(x)=
x
2
+2x-3
(x+1)
2
=0得x=-3或x=1
∵函数定义域为[0,1]
∴x=1时,函数f(x)的最小值-4;
(2)g′(x)=3x
2
-3a
2
=3(x+a)(x-a)
∵函数定义域为[0,1],a≥1
∴函数g(x)的单调减区间是[0,1],
(3)由(1)知,函数f(x)的最小值为-4,所以问题等价为 x
3
-3a
2
x-2a≤-4(a≥1),在x∈[0,1]时恒成立
由(2)知,x=0时,函数g(x)取得最大值,所以-2a≤-4,故a≥2.
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