设函数f（x）=x2-|x-a|（x∈R，a∈R）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）已知a≥0，若对任意x∈R都有f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=x²-|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）已知a≥0，若对任意x∈R都有f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）若f（x）的为偶函数，则f（-x）=f（x），
f（x）=x²-|x-a|，f（-x）=（-x）²-|-x-a|=x²-|x+a|，
故|x-a|=|x+a|，
两边平方得（x-a）²=（x+a）²，展开得4ax=0恒成立，
∴a=0，
即若f（x）为偶函数，则a=0．
（2）f（x）=

{	x²-x+a x≥a x²+x-a x＜a

设f₁(x)=x²-x+a(x≥a)，f₂(x)=x²+x-a(x＜a)，
①求f₁(x)=x²-x+a(x≥a)，
即f₁(x)=(x-

)²+a-

(x≥a)的最小值：
若a＞

，f₁(x)_min=f₁(a)=a²；
若0≤a≤

，f₁(x)_min=f₁(

)=a-

，
②求f₂(x)=x²+x-a(x＜a)，
即f₂(x)=(x+

)²-a-

(x＜a)的最小值，
∵a＞0＞-

，
∴f₂(x)_min=f₂(-

)=-a-

，
比较-a-

与a²，a-

的大小：
∵a≥0，
∴-a-

＜0≤a²，-a-

＜a-

，
故f(x)_min=-

-a，
“f（x）≥-1对x∈R恒成立”即为“f（x）_min≥-1（x∈R）”
令f(x)_min=-

-a≥-1，
解得0≤a≤

．

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