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  • 设函数f(x)=ax+max-1（a，m为实常数，a＞0）．（1）当m＜0，a=2时，用定义证明：y=f（x）在R上是增函数；（2）设a=2，g(x)=-m2x，F（x）=|f（x）+g（x）|，请你判断F（x+1）与F（x）的大小关系，并说明理由．（3）当m=1，且x∈[1，2]时，不等式f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=ax+
      m
      ax
      -1（a，m为实常数，a＞0）．
      （1）当m＜0，a=2时，用定义证明：y=f（x）在R上是增函数；
      （2）设a=2，g(x)=-
      m
      2x
      ，F（x）=|f（x）+g（x）|，请你判断F（x+1）与F（x）的大小关系，并说明理由．
      （3）当m=1，且x∈[1，2]时，不等式f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设x1＜x2，f(x1)-f(x2)=2x1+
      m
      2x1
      -1-(2x2+
      m
      2x2
      -1)=(2x1-2x2)(1-
      m
      2x1+x2
      )，
      ∵      2x1-2x2＜0，1-
      m
      2x1+x2
      ＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      即y=f（x）在R上是增函数．
      （2）∵F(x)=|f(x)+g(x)|=|2      x+
      m
      2x
      -1-
      m
      2x
      |=|2x-1|=
      {
      1-2x x∈(-∞，0)
      2x-1 x∈[0，+∞).
      ，
      [f（x+1）]      2-[f（x）]2=|2x+1-1|2-|2x-1|2=2x（3?2x-2），
      ∴x＞log      2
      2
      3
      时 f(x+1)＞f(x)，
      ∴x＜log      2
      2
      3
      时 f(x+1)＜f(x)，
      ∴x=log      2
      2
      3
      时 f(x+1)=f(x)．
      （3）∵f（x）≥3在x∈[1，2]上恒成立，即      ax+
      1
      ax
      -1=t+
      1
      t
      -1≥3在x∈[1，2]上恒成立．
      ①当a＞1时，x∈[1，2]，t∈[a，a      2]，g(t)=t+
      1
      t
      -1在[a，a2]上单调递增，g(t)min=g(a)=a+
      1
      a
      -1≥3?a≥2+
      √3
      ；
      ②当0＜a＜1时，x∈[1，2]，t∈[a      2，a]，g（t）在[a2，a]上单调递减，g(t)min=g(a)=a+
      1
      a
      -1≥3?0＜a≤2-
      √3
      ；
      a=1时明显不成立，
      故a的取值范围是：(0，2-
      √3
      ]∪[2+
      √3
      ，+∞)．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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