对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的不动点．（1）若函数f（x）=ax2+bx-2b（a≠0）有不动点（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表达式；（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+bx-2b总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）若定义在R上的函数g（x）满足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数．试题及答案-单选题-云返教育

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对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称点（x₀，f（x₀））为函数f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=ax²+bx-2b（a≠0）有不动点（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表达式；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax²+bx-2b总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在R上的函数g（x）满足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数．

试题解答

见解析

解：（1）由题意

{	f(0)=0 f(1)=1

，即

{	-2b=0 a +b-2b=1

，
解得

{

a=1

b=0

．∴f（x）=x²
（2）函数f（x）=ax²+bx-2b总有两个相异的不动点，
即关于x的方程f（x）=x有两个不等根．
化简f（x）=x得到ax²+（b-1）x-2b=0．
所以（b-1）²+8ab＞0，即b²+（8a-2）b+1＞0．
由题意，该关于b的不等式恒成立，
所以（8a-2）²-4＜0．解之得：0＜a＜

．
（3）（x，x）与（-x，-x）是成对出现，故是偶数，（0，0）在图形上，所以，n必是奇数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题