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  • 对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：f1（x）=lgx10，f2（x）=lg10x，h（x）=lgx； 第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；（2）设f1（x）=log2x，f2（x）=log 12x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=1x（x＞0），取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
      （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f      1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
      第一组：f      1（x）=lg
      x
      10
      ，f2（x）=lg10x，h（x）=lgx；
      第二组：f      1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
      （2）设f      1（x）=log2x，f2（x）=log
      1
      2
      x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
      （3）设f      1（x）=x（x＞0），f2（x）=
      1
      x
      （x＞0），取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）第一组：若h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），
      则lgx=a?lg
      x
      10
      +blg10x=（a+b）lgx+（b-a），
      则
      {
      a+b=1
      a-b=0
      ，即a=
      1
      2
      ，b=
      1
      2
      ，
      ∴h（x）是分别为f      1（x），f2（x）的生成函数．
      第二组：f      1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
      若h（x）=a?f      1（x）+b?f2（x），
      则x      2-x+1=a?（x2-x）+b（x2+x+1）=（a+b）x2+（b-a）x+b，
      则
      {
      b=1
      b-a=-1
      a+b=1
      ，即
      {
      b=1
      a=2
      a=0
      ，此时方程无解，
      ∴h（x）不是为f      1（x），f2（x）的生成函数．
      （2）若f      1（x）=log2x，f2（x）=log
      1
      2
      x，a=2，b=1，生成函数h（x）．
      则h（x）=2f      1（x）+f2（x）=2log2x+log
      1
      2
      x=2log2x-log2x=log2x，
      则h（x）单调递增，
      若不等式3h      2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
      即等价为t＜-3h      2（x）-2h（x）=-3log22x-2log2x，
      设s=log      2x，则s∈[1，2]，
      则y=-3log      22x-2log2x=-3s2-2s，
      对称轴s=-
      1
      3
      ，
      ∴-16≤y≤-5，
      若不等式3h      2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
      则t＜-5，
      ∴实数t的取值范围是t＜-5；
      （3）由题意，得h（x）=af      1（x）+bf2（x）=ax+
      b
      x
      ，
      则h（x）=ax+
      b
      x
      ≥2
      √ab
      ，
      ∴
      {
      2a+
      b
      2
      =8
      2
      √ab
      =8
      ，解得a=2，b=8，
      ∴h（x）=2x+
      8
      x
      ，（x＞0），
      假设存在最大的常数m，使h（x      1）h（x2）≥m恒成立．
      于是设u=h（x      1）h（x2）=4(x1+
      4
      x1
      )(x2+
      4
      x2
      )=4x1x2+
      64
      x1x2
      +16(
      x1
      x2
      +
      x2
      x1
      )
      =4x      1x2+
      64
      x1x2
      +16?
      x
      2
      1
      +x
      2
      2
      x1x2
      =4x1x2+
      64
      x1x2
      +16?
      (x1+x2)2-2x1x2
      x1x2
      =4x1x2+
      80
      x1x2
      -32，
      令t=x      1x2，则t=x1x2≤(
      x1+x2
      2
      )2=
      1
      4
      ，
      即t∈(0，
      1
      4
      ]，
      设u=4t+
      80
      t
      -32，在t∈(0，
      1
      4
      ]上单调递减，
      ∴u≥u(
      1
      4
      )=289，
      故存在最大的常数m=289．
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