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  • 已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求证：f(1x)=-f(x)，且f（x）是偶函数；（2）请写出一个满足上述条件的函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
      （1）求证：f(
      1
      x
      )=-f(x)，且f（x）是偶函数；
      （2）请写出一个满足上述条件的函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：令x1=x2=1
      ∵f（x      1?x2）=f（x1）+f（x2）
      ∴f（1）=2f（1）
      ∴f（1）=0，
      ∴f(
      1
      x
      )+f(x)=f(1)=0，
      ∴f(
      1
      x
      )=-f(x)
      令x      1=-1，x2=1
      f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
      ∴f（-1）=0；
      令x      1=-1
      ∵f（x      1?x2）=f（x1）+f（x2）
      ∴f（x      1?x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
      又∵f（-1）=0
      ∴f（-x      2）=f（x2）
      故f（x）是偶函数；
      （2）根据根据（x      1x2）=f（x1）+f（x2）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
      可知f（x）=log      2|x|．
      标签
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