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  • 定义在R上的函数f （x）的图象关于点（-34，0）对称，且满足f （x）=-f （x+32），f （1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为= ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在R上的函数f （x）的图象关于点（-
      3
      4
      ，0）对称，且满足f （x）=-f （x+
      3
      2
      ），f （1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=          ．

      试题解答

      0
      解：由f （x）=-f （x+
      3
      2
      ）得f （x+3）=f[（x+
      3
      2
      ）+
      3
      2
      ]=-f （x+
      3
      2
      ）=f （x）
      所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；
      由f （x）的图象关于点（-
      3
      4
      ，0）对称，知（x，y）的对称点是（-
      3
      2
      -x，-y）．
      即若y=f （x），则必-y=f （-
      3
      2
      -x），或y=-f （-
      3
      2
      -x）．
      而已知f （x）=-f （x+
      3
      2
      ），故f （-
      3
      2
      -x）=f （x+
      3
      2
      ），
      今以x代x+
      3
      2
      ，得f （-x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．
      于是有：f （1）=f （-1）=1；f （2）=f （2-3）=f （-1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=-2；
      ∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．
      而2010=3×670，于是f （2010）=0；
      故答案为0．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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