已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）（Ⅰ）证明f（0）=0；（Ⅱ）证明f(x)={kxx≥0hxx＜0其中k和h均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=1f(x)+f（x）（x＞0），讨论g（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）证明f（0）=0；
（Ⅱ）证明f(x)=

{	kxx≥0 hxx＜0

其中k和h均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=

f(x)

+f（x）（x＞0），讨论g（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值．

试题解答

见解析

证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．

（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，则f（x²）=xf（x）．
假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x²）=kx²，而xf（x）=x?kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假设x＜0时，f（x）=hx（h∈R），则f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x?hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)=

{	kx，x≥0 hx，x＜0

成立．
（Ⅲ）当x＞0时，g(x)=

f(x)

+f(x)=

+kx，g′(x)=-

kx²

+k=

k²x²-1

kx²

令g'（x）=0，得x=

或x=-

；
当x∈（0，

）时，g'（x）＜0，∴g（x）是单调递减函数；
当x∈[

，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数；
所以当x=

时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为g(

)=2

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题