定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（）试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

试题解答

解：令x=y=0，得出f（0）=2f（0）?f（0）=0．
又根据f（3）=log₂3＞0=f（0），f（x）是R上的单调函数进一步确定出f（x）是R上的单调递增函数．
因此f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）=f（k?3^x+3^x-9^x-2）＜0=f（0）?k?3^x+3^x-9^x-2＜0?k＜3^x+

3^x

-1，
根据基本不等式得到3^x+

3^x

-1≥2

√3^x×

3^x

-1=2

√2

-1，当且仅当3^x=

√2

，即x=

log₃2时取等号，
因此k＜3^x+

3^x

-1对任意x∈R恒成立?k＜3^x+

3^x

-1的最小值，即k＜-1+2

√2

．
故选B．

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必修1 人教A版单选题高中数学

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（）试题及答案-单选题-云返教育