见解析
解：（1）取x=y=0则f（0）=2f（0）∴f（0）=0
（2）f（x）是奇函数．其证明如下：
对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是R上的奇函数
（3）任意取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2=x1+△x（其中△x＞0）
∴f（x2）=f（x1+△x）=f（x1）+f（△x）
∴f（x2）-f（x1）=f（△x）＞0即f（x2）＞f（x1）
∴f（x）是R上的增函数
又∵f（a2-4）+f（2a+1）＜0
∴f（2a+1）＜-f（a2-4）=f（4-a2）
∴2a+1＜4-a2即a2+2a-3＜0
∴-3＜a＜1
