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已知定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2均有f(x)>0;③对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1).(1)求f(2)的值.(2)是否存在实数a,使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2均有f(x)>0;③对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1).
(1)求f(2)的值.
(2)是否存在实数a,使得f(cos
2
θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)令x=y=1,得f(2)=0;
(2)先证明f(x)在(1,+∞)是增函数.
任取x
1
>1,x
2
>1,且x
2
>x
1
则有f(x
1
)+f(
x
2
-1
x
1
-1
+1)=f(x
1
-1+1)+f(
x
2
-1
x
1
-1
+1)=f((x
1
-1)
x
2
-1
x
1
-1
+1)=f(x
2
).
而
x
2
-1
x
1
-1
+1>1+1=2
所以f(x
1
)<f(x
2
),即f(x)在(1,+∞)是增函数.
又因为f(x)是奇函数,
∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数.
令x=y=2 有f(5)=2;
令x=2,y=4 有f(9)=3.
又f(8+1)+f(
1
8
+1)=f(8
1
8
+1)=0,
∴f(-
9
8
)=3.
则f(x)<3的解集为(-∞,-
9
8
)∪(1,9),
于是问题等价于是否存在实数a,使cos
2
θ+asinθ<-
9
8
或1<cos
2
θ+asinθ<9对任意的θ∈(0,π)恒成立,
令t=sinθ,则t∈(0,1]
对于cos
2
θ+asinθ<-
9
8
恒成立化为
t
2
-at-
17
8
>0,在t∈(0,1]上恒成立.
即a<t-
17
8t
在t∈(0,1]上恒成立.
而t→0时,t-
17
8t
→-∞,故不存在存在实数a,使cos
2
θ+asinθ<-
9
8
恒成立.
1<cos
2
θ+asinθ<9对任意的θ∈(0,π)恒成立等价于
{
t
2
-at+8>0
t
2
-at<0
在t∈(0,1]上恒成立.
t
2
-at+8>0,t∈(0,1]?a<t+
8
t
,
易得a<9.而t
2
-at<0知a>t所以a>1.
综合以上有当1<a<9使得f(cos
2
θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立
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