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  • 设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（13）=1，（1）求f（1），f（19），f（9）的值，（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（
      1
      3
      ）=1，
      （1）求f（1），f（
      1
      9
      ），f（9）的值，
      （2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2分）
      令x=3，y=
      1
      3
      ，则f（1）=f（3）+f（
      1
      3
      ），∴f（3）=-1
      ∴f（
      1
      9
      ）=f（
      1
      3
      ×
      1
      3
      ）=f（
      1
      3
      ）+f（
      1
      3
      ）=2（4分）
      ∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2（6分）
      （2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（
      1
      9
      ），（8分）
      又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数得：
      {
      x(2-x)＞
      1
      9
      x＞0
      2-x＞0
      （11分）
      解之得：x∈(1-
      2
      √2
      3
      ，1+
      2
      √2
      3
      )．（13分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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