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  • 函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（13）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；（3）若a＞b＞c＞0且b2=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（
      1
      3
      ）＞1．
      （1）求f（0）的值；
      （2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
      （3）若a＞b＞c＞0且b      2=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
      ∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]      2?f（0）=1；
      （2）任取x      1，x2∈R，且x1＜x2，则x1=
      1
      3
      p1，x2=
      1
      3
      p2，故p1＜p2，
      ∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]      y；③f（
      1
      3
      ）＞1．
      ∴f（x      1）-f（x2）=f（
      1
      3
      p1）-f（
      1
      3
      p2）=[f(
      1
      3
      )]p1-[f(
      1
      3
      )]p2＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）是R上的单调增函数．
      （3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1，
      ∴f（b）＞1，
      ∵f（a）=f（b?
      a
      b
      ）=[f(b)]
      a
      b
      ，f（c）=f（b?
      c
      b
      ）=[f(b)]
      c
      b
      ，
      ∴f（a）+f（c）=[f(b)]
      a
      b
      +[f(b)]
      c
      b
      ＞2
      √[f(b)]
      c+a
      b
      ，
      而a+c＞2
      √ac
      =2
      √b2
      =2b，
      ∴2
      √[f(b)]
      c+a
      b
      ＞2
      √[f(b)]
      2b
      b
      =2f（b），
      ∴f（a）+f（c）＞2f（b）．
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