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  • 设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有f(x1)f(x2)+f(1-x1)f(1-x2)≤2，则关于函数f（x）有（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；（3）对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）＜f（x2）；（4）对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），上述四个命题中正确的有 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
      f(x1)
      f(x2)
      +
      f(1-x1)
      f(1-x2)
      ≤2，则关于函数f（x）有
      （1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
      （2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
      （3）对任意x      1，x2∈（0，1），都有f（x1）＜f（x2）；
      （4）对任意x      1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），
      上述四个命题中正确的有                ．

      试题解答

      （2）（4）
      解：由于命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，
      对于命题（1）（2），令x      1=x，x2=1-x，结合①则有
      f(x)
      f(1-x )
      +
      f(1-x )
      f(x )
      ≥2，等号当
      f(x)
      f(1-x )
      =
      f(1-x )
      f(x )
      时成立
      又由②知
      f(x)
      f(1-x )
      +
      f(1-x )
      f(x )
      ≤2，由此知
      f(x)
      f(1-x )
      =
      f(1-x )
      f(x )
      =1，即f（x）=f（1-x），故（2）对；
      对于（3）（4），将②中的变量x      1，x2交换位置可得
      f(x2)
      f(x1)
      +
      f(1-x2)
      f(1-x1)
      ≤2
      故有
      f(x2)
      f(x1)
      +
      f(1-x2)
      f(1-x1)
      +
      f(x1)
      f(x2)
      +
      f(1-x1)
      f(1-x2)
      ≤4等号当且仅当
      f(x2)
      f(x1)
      =
      f(x1)
      f(x2)
      =1，
      f(1-x2)
      f(1-x1)
      =
      f(1-x1)
      f(1-x2)
      =1时成立
      又由①即基本不等式知
      f(x2)
      f(x1)
      +
      f(1-x2)
      f(1-x1)
      +
      f(x1)
      f(x2)
      +
      f(1-x1)
      f(1-x2)
      ≥4等号当且仅当
      f(x2)
      f(x1)
      =
      f(x1)
      f(x2)
      =1，
      f(1-x2)
      f(1-x1)
      =
      f(1-x1)
      f(1-x2)
      =1时成立
      故有
      f(x2)
      f(x1)
      =
      f(x1)
      f(x2)
      =1，即对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），（4）正确
      综上知（2）（4）正确．
      故答案为（2）（4）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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