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  • 已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f(x+y2)f(x-y2)，f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．（1）求f（0）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f(
      x+y
      2
      )f(
      x-y
      2
      )，f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．
      （1）求f（0）的值；
      （2）判断f（x）的奇偶性并证明；
      （3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=2f(
      x+y
      2
      )f(
      x-y
      2
      )，令x=y=0，
      ∴2f（0）=2f（0）?f（0），
      ∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
      （2）令y=-x，
      可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
      有f（-x）=f（x），
      则f（x）为偶函数、
      （3）∵f（2c+x）+f（x）=2f(
      2c+2x
      2
      )?f(
      2c
      2
      )，
      ∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
      即f（2c+x）=-f（x），
      ∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
      ∴f（x）的周期为4c．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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