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设函数y=f(x)是定义在R+上的函数,并且满足下面三个条件:(1)对任意正数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1时,f(x)<0;(3)f(3)=-1,(Ⅰ)求f(1)、f(19)的值;(Ⅱ)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.(Ⅲ)如果存在正数k,使不等式f(kx)+f(2-x)>2有解,求正数k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数y=f(x)是定义在R
+
上的函数,并且满足下面三个条件:
(1)对任意正数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y);
(2)当x>1时,f(x)<0;
(3)f(3)=-1,
(Ⅰ)求f(1)、f(
1
9
)的值;
(Ⅱ)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.
(Ⅲ)如果存在正数k,使不等式f(kx)+f(2-x)>2有解,求正数k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(I)令x=y=1易得f(1)=0.
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0,
得f(
1
9
)=2.
(II)设0<x
1
<x
2
<+∞,由条件(1)可得f(x
2
)-f(x
1
)=f(
x
2
x
1
),
因
x
2
x
1
>1,由(2)知f(
x
2
x
1
)<0,
所以f(x
2
)<f(x
1
),
即f(x)在R
+
上是递减的函数.
由条件(1)及(I)的结果得:f[x(2-x)]<f(
1
9
)
其中0<x<2,由函数f(x)在R
+
上的递减性,可得:
{
x(2-x)>
1
9
0<x<2
,
由此解得x的范围是(1-
2
√
2
3
,1+
2
√
2
3
).
(III)同上理,不等式f(kx)+f(2-x)<2可化为kx(2-x)>
1
9
且0<x<2,
得k>
1
9x(2-x)
,此不等式有解,等价于k>[
1
9x(2-x)
]
min
,
在0<x<2的范围内,易知x(2-x)
max
=1,
故k>
1
9
即为所求范围.
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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