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  • 设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足以下条件：①对于任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）+f（b）-p，其中p是正实数；②f（2）=p-1；（2）③x＞1时，总有f（x）＜p（1）求f(1)及f(12)的值（写成关于p的表达式）；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足以下条件：①对于任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）+f（b）-p，其中p是正实数；②f（2）=p-1；（2）③x＞1时，总有f（x）＜p
      （1）求f(1)及f(
      1
      2
      )的值（写成关于p的表达式）；
      （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（a）+f（b）-P=f（a?b），
      令a=b=1，则f（1）=P
      f(1)=f(2?
      1
      2
      )=f(2)+f(
      1
      2
      )-P=f(
      1
      2
      )+(P-1)-P=f(
      1
      2
      )-1
      ∴f(
      1
      2
      )=P+1
      （2）设0＜x      1＜x2，f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(
      x2
      x1
      ?x1)
      =f(x      1)-f(
      x2
      x1
      )-f(x1)+P=P-f(
      x2
      x1
      )
      ∵
      x2
      x1
      ＞1，∴f(
      x2
      x1
      )＜P∴f（x1）-f（x2）＞0，
      ∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
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