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  • 已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0；（1）验证函数f(x)=ln1-x1+x是否满足这些条件；（2）从奇偶性和单调性的角度考虑，这样的函数f（x）还具有什么样的性质？将它写出来，并加以证明；（3）若f(-12)=1，试解方程f(x)=-12．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )，且当x＜0时，f（x）＞0；
      （1）验证函数f(x)=ln
      1-x
      1+x
      是否满足这些条件；
      （2）从奇偶性和单调性的角度考虑，这样的函数f（x）还具有什么样的性质？将它写出来，并加以证明；
      （3）若f(-
      1
      2
      )=1，试解方程f(x)=-
      1
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由
      1-x
      1+x
      可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
      f(x)+f(y)=ln
      1-x
      1+x
      +ln
      1-y
      1+y
      =ln(
      1-x
      1+x
      ?
      1-y
      1+y
      )
      =ln
      1-x-y+xy
      1+x+y+xy
      =ln
      1-
      x+y
      1+xy
      1+
      x+y
      1+xy
      =f(
      x+y
      1+xy
      )
      又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，
      ∴
      1-x
      1+x
      ＞1可得ln
      1-x
      1+x
      ＞0
      ∴f(x)=ln
      1-x
      1+x
      满足这些条件．
      （2）结论：函数f（x）是（-1，1）上的奇函数且是（-1，1）上的单调减函数．
      证明如下
      ∵f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0
      ∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
      因此，f（x）在（-1，1）上是奇函数．
      ∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
      x-y
      1-xy
      )，
      ∴当-1＜x＜y＜1时
      x-y
      1-xy
      ＜0，由条件知f(
      x-y
      1-xy
      )＞0，可得f（x）-f（y）＞0
      ∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
      （3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，f(-
      1
      2
      )=1
      ∴f(
      1
      2
      )=-1，方程f(x)=-
      1
      2
      即2f（x）=-1
      ∵2f（x）=f（x）+f（x）=f(
      2x
      1+x2
      )，f（x）在（-1，1）上是单调函数，
      ∴由f(
      2x
      1+x2
      )=-1，得
      2x
      1+x2
      =
      1
      2
      ，解之得x=2±
      √3
      ，
      由于2+
      √3
      ?（-1，1），故x=2-
      √3
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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