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已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-23(1)求证:f(x)为奇函数;(2)求证:f(x)在R上为减函数;(3)求:f(x)在[-3,4]上的最大值与最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-
2
3
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)在R上为减函数;
(3)求:f(x)在[-3,4]上的最大值与最小值.
试题解答
见解析
解:(1)由题意结合x,y的任意性,
取x=y=0,可得f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0,
取y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x)
故f(x)为奇函数;
(2)任取x
1
,x
2
∈R,且x
1
<x
2
,
则f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
-x
1
)
∵x
1
<x
2
,∴x
2
-x
1
>0,∴f(x
2
-x
1
)<0
∴f(x
2
)-f(x
1
)<0,f(x
2
)<f(x
1
),
故函数f(x)在R上为减函数;
(3)∴f(x)+f(y)=f(x+y),
∴f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)
=2f(1+1)=2[f(1)+f(1)]=4f(1)=-
8
3
,
进而可得f(-3)=f(-4+1)=f(-4)+f(1)
=-f(4)+f(1)=
8
3
-
2
3
=2
由(2)知函数在[-3,4]上单调递减,
故函数的最大值为f(-3)=2
函数的最小值为f(4)=-
8
3
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必修1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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第3章 指数函数和对数函数
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正整数指数函数
第4章 函数应用
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