设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数．

试题解答

见解析

证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）?f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）?f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=

f(-x)

＞1．
（2）设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
根据（1）可知 f（x₁-x₂）＞1，f（x₂）＞0．
∵f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）?f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递减．

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必修1 人教A版单选题高中数学

设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

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