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  • 已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0（1）求证：f（1）=0；（2）求证：对任意的x∈R，都有f（1x）=-f（x）；（3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0
      （1）求证：f（1）=0；
      （2）求证：对任意的x∈R，都有f（
      1
      x
      ）=-f（x）；
      （3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），
      ∴f（1）=0．
      （2）证明：令y=
      1
      x
      （x≠0），
      则f（x?
      1
      x
      ）=f（x）+f（
      1
      x
      ）=f（1）=0，
      ∴f（
      1
      x
      ）=-f（x）；
      （3）任取x      1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，
      ∴
      -x1
      -x2
      =
      x1
      x2
      ＞1，
      由题意，f（
      x1
      x2
      ）＞0，
      又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
      ∴f（xy）-f（y）=f（x），
      ∴f（x      1）-f（x2）=f（
      x1
      x2
      ）＞0，
      ∴f（x      1）＞f（x2），
      ∴函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．
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