已知函数f（x）=1x2+1，令g（x）=f（1x）．（1）求函数f（x）的值域；（2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）；（3）如图，已知f（x）在区间[0，+∞）的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数g（x）的图象．请说明你的作图依据．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

x²+1

，令g（x）=f（

）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）；
（3）如图，已知f（x）在区间[0，+∞）的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数g（x）的图象．请说明你的作图依据．

见解析

（1）解：f（x）=

x²+1

，由x²+1≥1，得0＜

x²+1

≤1，
∴函数f（x）的值域为（0，1]；
（2）证明：由f（x）=

x²+1

，则g（x）=f（

）=

(

)²+1

x²

1+x²

．
∴f（x）+g（x）=

x²+1

x²

1+x²

=1；
（3）解：∵函数f（x）=

x²+1

为偶函数，∴其图象关于y轴对称，图象如图，

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