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  • 已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在R上的奇函数，其值域为[-14，14]．（1）试求a、b的值；（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．①求函数g（x）在x∈[3，9）上的解析式；②若函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x+a
      x2+b
      是定义在R上的奇函数，其值域为[-
      1
      4
      ，
      1
      4
      ]．
      （1）试求a、b的值；
      （2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
      ①求函数g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
      ②若函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由函数f（x）定义域为R，∴b＞0．
      又f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，得a=0．（2分）
      因为y=f（x）=
      x
      x2+b
      的定义域为R，所以方程yx2-x+by=0在R上有解．
      当y≠0时，由△≥0，得-
      1
      2
      √b
      ≤y≤
      1
      2
      √b
      ，
      而f（x）的值域为[-
      1
      4
      ，
      1
      4
      ]，所以
      1
      2
      √b
      =
      1
      4
      ，解得b=4；
      当y=0时，得x=0，可知b=4符合题意．所以b=4．（5分）
      （2）①因为当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）=
      x
      x2+4
      ，
      所以当x∈[3，6）时，g（x）=g（x-3）lnm=
      (x-3)lnm
      (x-3)2+4
      ；（6分）
      当x∈[6，9）时，g（x）=g（x-6）（lnm）      2=
      (x-6)(lnm)2
      (x-6)2+4
      ，
      故g(x)=
      {
      (x-3)lnm
      (x-3)2+4
      x∈[3，6)
      (x-6)(lnm)2
      (x-6)2+4
      x∈[6，9)
      （9分）
      ②因为当x∈[0，3）时，g（x）=
      x
      x2+4
      在x=2处取得最大值为
      1
      4
      ，在x=0处取得最小值为0，（10分）
      所以当3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）时，g（x）=
      (x-3n)(lnm)2
      (x-3n)2+4
      分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为
      (lnm)n
      4
      与0．（11分）
      （ⅰ） 当|lnm|＞1时，g（6n+2）=
      (lnm)2n
      4
      的值趋向无穷大，从而g（x）的值域不为闭区间；（12分）
      （ⅱ） 当lnm=1时，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3为周期的函数，从而g（x）的值域为闭区间[0，
      1
      4
      ]；（13分）
      （ⅲ） 当lnm=-1时，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6为周期的函数，
      且当x∈[3，6）时g（x）=
      -(x-3)
      (x-3)2+4
      值域为[-
      1
      4
      ，0]，从而g（x）的值域为闭区间[-
      1
      4
      ，
      1
      4
      ]；（14分）
      （ⅳ） 当0＜lnm＜1时，由g（3n+2）=
      (lnm)n
      4
      ＜
      1
      4
      ，得g（x）的值域为闭区间[0，
      1
      4
      ]；（15分）
      （ⅴ） 当-1＜lnm＜0时，由
      lnm
      4
      ≤g（3n+2）=
      (lnm)n
      4
      ＜
      1
      4
      ，从而g（x）的值域为闭区间[-
      lnm
      4
      ，
      1
      4
      ]．
      综上知，当m∈[
      1
      e
      ，1]∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0时，g（x）的值域为闭区间．（16分）
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