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  • 设g（x）=2x+mx，x∈[14，4]．（1）若m=1，求g（x）的单调区间（简单说明理由，不必严格证明）；（2 ）若m=1，证明g（x）的最小值为g（√22）；（3）若g1(x)={2x+2x，x∈[14，1]4，x∈[1，4]，g2（x）=172，不等式|g1（x）-g2（x）|≥p恒成立，求实数p的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设g（x）=2x+
      m
      x
      ，x∈[
      1
      4
      ，4]．
      （1）若m=1，求g（x）的单调区间（简单说明理由，不必严格证明）；
      （2 ）若m=1，证明g（x）的最小值为g（
      √2
      2
      ）；
      （3）若      g1(x)=
      {
      2x+
      2
      x
      ，x∈[
      1
      4
      ，1]
      4，x∈[1，4]
      ，g2（x）=
      17
      2
      ，不等式|g1（x）-g2（x）|≥p恒成立，求实数p的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵g（x）=2x+
      1
      x
      为奇函数．奇函数在对称区间上单调性相同，
      g（x）在x∈[
      1
      4
      ，
      √2
      2
      ]上递减，g（x）在x∈[
      √2
      2
      ，4]上递增；
      （2）用最值的定义证明：
      g（x）在x∈[
      1
      4
      ，
      √2
      2
      ]上递减，对任意x∈[
      1
      4
      ，
      √2
      2
      ]，
      都有g（
      1
      4
      ）≥g（x）≥g（
      √2
      2
      ），
      g（x）在x∈[
      √2
      2
      ，4]上递增，对任意x∈[
      √2
      2
      ，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（
      √2
      2
      ），
      综上，g（x）的最小值为g（
      √2
      2
      ）．
      （3）      g1(x)=
      {
      2x+
      2
      x
      ，x∈[
      1
      4
      ，1]
      4，x∈[1，4]
      ，g2（x）=
      17
      2
      ，
      |g      1（x）-g2（x）|=
      {
      |
      17
      2
      -2x-
      2
      x
      |，x∈[
      1
      4
      ，1)
      9
      2
      ，x∈[1，4]
      ，
      |g      1（x）-g2（x）|的最小值为0，
      所以p≤0，即实数p的范围是（-∞，0]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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