已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性；（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx2+x-3）+f（x2-mx+3m）＞0恒成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1+b

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx²+x-3）+f（x²-mx+3m）＞0恒成立，求m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f(x)=

-2^x+a

2^x+1+b

是R上的奇函数，f（0）=0，
即

a-1

b+2

=0，解得a=1．
∴f(x)=

-2^x+1

2^x+1+b

，
又f（-1）=-f（1），
∴

1-2

b+4

b+1

，∴b=2，经检验符合题意．
∴a=1，b=2．
（2）由（1）可知f(x)=

-2^x+1

2^x+1+2

2^x+1

，
设x₁＜x₂，f(x₁)-f(x₂)=

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵y=2^x在R单调递增，∴2^x₂＞2^x₁＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，且为奇函数，
∴原不等式等价为f（mx²+x-3）＞-f（x²-mx+3m）=f（-x²+mx-3m），
∴（m+1）x²+（1-m）x+3（m-1）＜0
①m=-1时，不等式2x-6＜0，即x＜3，不符合题意．
②m≠-1时，要使不等式恒成立，则

{

m+1＜0

△＜0

，解得m＜-

．
综上，m＜-

．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性；（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx2+x-3）+f（x2-mx+3m）＞0恒成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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