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  • 已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      mx+n
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5

      （1）求实数m，n的值
      （2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数
      （3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）为奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x），
      即
      m(-x)+n
      1+(-x)2
      =-
      mx+n
      1+x2
      ，
      ∴n=0，
      ∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，
      ∴m=1
      （2）由（1）得f(x)=
      x
      1+x2
      ，
      设-1＜x      1＜x2＜1，
      则f(x      1)-f(x2)=
      x1
      1+x
      2
      1
      -
      x2
      1+x
      2
      2
      =
      x1(1+x
      2
      2
      )-x2(1+x
      2
      1
      )
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )

      ∵-1＜x      1＜x2＜1，
      ∴x      1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x
      2
      1
      ＞0，1+x
      2
      2
      ＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      即 f（x      1）＜f（x2）
      ∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
      （3）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
      ∴由f（t-1）+f（t）＜0，
      得???f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
      又∵f（x）在（-1，1）上为增函数
      ∴
      {
      -1＜t＜1
      -1＜1-t＜1
      t＜1-t
      ，
      解得 0＜t＜
      1
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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