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已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求函数g（x），h（x）的解析式；（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），设h（x）=t，把F（x）表示为t的函数p（t）；（3）若关于x的方程F（x）=m2-m+2在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求函数g（x），h（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），设h（x）=t，把F（x）表示为t的函数p（t）；
（3）若关于x的方程F（x）=m²-m+2在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①、②解得g(x)=

f(x)+f(-x)

，h(x)=

f(x)-f(-x)

．（2分）
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

=g(x)，h(-x)=

f(-x)-f(x)

=-h(x)．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
把f（x）=2^x+1代入求得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2^x+1+2^-x+1

=2^x+

2^x

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2^x+1-2^-x+1

=2^x-

2^x

．（6分）
（2）由2^x-

2^x

=t，则t∈R，平方得t²=(2^x-

2^x

)²=2^2x+

2^2x

-2，
∴g(2x)=2^2x+

2^2x

=t²+2，代入F（x）的解析式得，
p（t）=t²+2mt+m²-m+1．（10分）
（3）∵t=h（x）=2^x-

2^x

在区间[1，2]上单调递增，∴

≤t≤

．（12分）
由F（x）=m²-m+2得t²+2mt-1=0
∴m=

(

-t)，令?（t）=

(

-t)(t∈[

，

])
由题意得，m的取值范围就是函数?（t）的值域．（14分）
∵

，-t在t∈[

，

]上均为减函数，
故?（t）在t∈[

，

]上单调递减，而?(

)=-

209

120

，
∴函数?（t）的值域为[-

209

120

，-

]
即m的取值范围为[-

209

120

，-

]（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题