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  • 已知函数f(x)=√1+x+√1-x．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设F(x)=m√1-x2+f(x)，若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）；（3）在（2）的条件下，求满足不等式g(-m)＞(94)m的实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      √1+x
      +
      √1-x
      ．
      （1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；
      （2）设F(x)=m
      √1-x2
      +f(x)，若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）；
      （3）在（2）的条件下，求满足不等式g(-m)＞(
      9
      4
      )m的实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f（x）有意义，须满足
      {
      1+x≥0
      1-x≥0
      ，得-1≤x≤1，
      故函数定义域是{x|-1≤x≤1}．
      ∵函数定义域关于原点对称，且f(-x)=
      √1-x
      +
      √1+x
      =f(x)，
      ∴函数f（x）是偶函数．
      （2）设f（x）=t，则
      √1-x2
      =
      1
      2
      t2-1，
      ∵[f(x)]      2=2+2
      √1-x2
      ，0≤
      √1-x2
      ≤1
      ∴2≤[f（x）]      2≤4，
      ∵f（x）≥0，∴
      √2
      ≤f(x)≤2，
      即函数f（x）的值域为[
      √2
      ，2]，即t∈[
      √2
      ，2]
      ∴F(x)=m(
      1
      2
      t2-1)+t=
      1
      2
      mt2+t-m，t∈[
      √2
      ，2]，
      令h(t)=
      1
      2
      mt2+t-m，
      ∵抛物线y=h（t）的对称轴为t=-
      1
      m

      ①当m＞0时，-
      1
      m
      ＜0，函数y=h（t）在[
      √2
      ，2]上单调递增，
      ∴g（m）=h（2）=m+2；
      ②当m=0时，h（t）=t，g（m）=2
      ③当m＜0时，-
      1
      m
      ＞0，
      若0＜-
      1
      m
      ≤
      √2
      ，即m≤-
      √2
      2
      时，函数y=h（t）在[
      √2
      ，2]上单调递减，
      ∴g(m)=h(
      √2
      )=
      √2
      ；
      若
      √2
      ＜-
      1
      m
      ≤2，即-
      √2
      2
      ＜m≤-
      1
      2
      时，g(m)=h(-
      1
      m
      )=-m-
      1
      2m
      ；
      若-
      1
      m
      ＞2，即-
      1
      2
      ＜m＜0时，函数y=h（t）在[
      √2
      ，2]上单调递增，
      ∴g（m）=h（2）=m+2；
      综上得g(m)=
      {
      m+2，(m＞-
      1
      2
      )
      -m-
      1
      2m
      ，(-
      √2
      2
      ＜m≤-
      1
      2
      )
      √2
      ．(m≤-
      √2
      2
      )
      ．
      （3）由（2）知g(-m)=
      {
      -m+2，(m＜
      1
      2
      )
      m+
      1
      2m
      ，(
      1
      2
      ≤m＜
      √2
      2
      )
      √2
      ．(m≥
      √2
      2
      )

      ①当m＜
      1
      2
      时，g（-m）=-m+2单调递减，y=(
      9
      4
      )m单调递增，
      ∴g(-m)＞-
      1
      2
      +2=
      3
      2
      =(
      9
      4
      )
      1
      2
      ＞(
      9
      4
      )m恒成立．
      ②当
      1
      2
      ≤m＜
      √2
      2
      时，
      ∵g(-m)=m+
      1
      2m
      ，由对勾函数性质知g（-m）在m∈[
      1
      2
      ，
      √2
      2
      ]上单调递减，
      ∵y=(
      9
      4
      )m单调递增，
      ∴g(-m)≤
      1
      2
      +
      1
      2×
      1
      2
      =
      3
      2
      =(
      9
      4
      )
      1
      2
      ≤(
      9
      4
      )m，∴g(-m)＞(
      9
      4
      )m恒不成立；
      ③当m≥
      √2
      2
      时，g(-m)=
      √2
      ＜
      3
      2
      =(
      9
      4
      )
      1
      2
      ≤(
      9
      4
      )m，∴g(-m)＞(
      9
      4
      )m恒不成立；
      综上得满足g(-m)＞(
      9
      4
      )m的实数m的取值范围为(-∞，
      1
      2
      )．
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