已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[1b，1a]，若存在，求出实数a，b的值；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[

，

]，若存在，求出实数a，b的值；若不存在，说明理由．

见解析

解：（1）由题意，根据奇函数性质：f（x）=-f（-x）
当x＜0时，-x＞0，所以当x＜0时的解析式为：f（x）=-f（-x）=2x+x²
∵f（0）=0
∴f(x)=

{	2x-x²，x＞0. 2x+x²，x≤0.

（2）由

{

b＞a

＞

?ab＞0．
若a＞0，b＞0．
情形一 a＜1＜b：f（x）=2x-x²的最大值为1．得a=1（舍）．
情形二 a＜b＜1：f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，又

＞1（不符）
情形三 1≤a＜b：[a，b]上单调减得

{

f(a)=

f(b)=

{

a=1

√5

（符合）
若a＜0，b＜0，同理可得a=

-1-

√5

，b=-1

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