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  • 已知函数f（x）=x2+2x（1）它是奇函数还是偶函数？并给出证明．（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在（3，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x2+2
      x

      （1）它是奇函数还是偶函数？并给出证明．
      （2）它的图象具有怎样的对称性？
      （3）它在（3，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）此函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
      f（-x）=
      (-x)2+2
      -x
      =-
      x2+2
      x
      =-f（x）
      ∴函数f（x）为奇函数
      （2）∵函数f（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
      ∴其图象关于原点对称．
      （3）函数f（x）=
      x2+2
      x
      =x+
      2
      x
      在（3，+∞）上是增函数
      证明：设?x      1、x2∈（3，+∞），且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=x1+
      2
      x1
      -x2-
      2
      x2
      =(x1-x2)+
      2(x2-x1)
      x1x2

      =(x      1-x2)(1-
      2
      x1x2
      )
      ∵3＜x      1＜x2
      ∴      x1-x2＜0，x1x2＞9，1-
      2
      x1x2
      ＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      ∴f(x)=x+
      2
      x
      在（3，+∞）上是增函数
      即函数函数f（x）=
      x2+2
      x
      在（3，+∞）上是增函数
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