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已知函数f(x)=a?2x+a-22x+1（1）当a为何值时，f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）为R上的增函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

（1）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的增函数．

试题解答

见解析

（1）解：由f（0）=0，得a=1，则f（x）=

2^x-1

2^x+1

．
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=

2^-x-1

2^-x+1

=

1-2^x

1+2^x

=-

2^x-1

2^x+1

=-f（x）．
所以a=1时，f（x）为奇函数．
（2）证明：函数可化为f(x)=a-

2

2^x+1

，定义域为R．
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2^x₁+1

）-（a-

2

2^x₂+1

）=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

．
因为x₁＜x₂，所以2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）为R上的增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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