已知定义在R上的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义在R上的函数f（x）=

b-2^x

2^x+a

是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明．

见解析

解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=

b-1

a+1

=0，解得b=1；
则f（x）=

1-2^x

a+2^x

，
因为f（-x）=

1-2^-x

a+2^-x

2^x-1

a?2^x+1

=-f（x）=

2^x-1

a+2^x

，
所以a?2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对任意实数x都成立，
所以a=1，故a=b=1．
（2）f（x）=

1-2^x

1+2^x

-1，f（x）在R上是减函数，
证明：任取x₁，x₂且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1+2^x₁

1+2^x₂

2(2^x₂-2^x₁)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
因为x₁＜x₂，所以2^x₂-2^x₁＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数．

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