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  • 已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a2，且最大值是b2．请解答以下问题（1）判断函数f(x)=x+2x(x∈(0，+∞))是否属于集合M？并说明理由；（2）判断函数g（x）=-x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（3）若函数h(x)=√x-1+t∈M，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
      ①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
      ②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
      a
      2
      ，且最大值是
      b
      2
      ．请解答以下问题
      （1）判断函数f(x)=x+
      2
      x
      (x∈(0，+∞))是否属于集合M？并说明理由；
      （2）判断函数g（x）=-x      3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
      （3）若函数h(x)=
      √x-1
      +t∈M，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=x+
      2
      x
      ，x∈(0，+∞)，
      在(0，
      √2
      )上递减，在(
      √2
      ，+∞)上递增，
      ∴f(x)=x+
      2
      x
      ，x∈(0，+∞)不属于M．（4分）
      （2）∵g（x）=-x      3在R上递减，
      ∴若g（x）=-x      3属于M，则
      {
      -a3=
      b
      2
      -b3=
      a
      2
      即
      {
      a=-
      √2
      2
      b=
      √2
      2
      （9分）
      （3）∵h(x)=
      √x-1
      +t∈M且为增函数
      ∴
      {
      √a-1
      +t=
      a
      2
      √b-1
      +t=
      b
      2

      ∴方程
      √x-1
      +t=
      x
      2
      ，在[1，+∞）内有两解
      即
      √x-1
      =
      x
      2
      -t，在[1，+∞）内有两解，所以t≤
      1
      2

      √x-1
      +t=
      x
      2
      化为：x2-4（t+1）x+4t2+4=0
      则
      {
      △=[4(t+1)]2-4×4(t2+1)＞0
      -
      -4(t+1)
      2
      ＞1
      12-4(t+1)×1+4t2+4≥0

      解得t＞0，综上实数t的取值范围是（0，
      1
      2
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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