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  • 已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，
      （Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
      （Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
      （Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=
      {
      x(x-2)，x≥2
      x(2-x)，x＜2

      由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）
      （Ⅱ）因为a＞2，x∈[1，2]时，所以f（x）=x（a-x）=-x      2+ax=-(x-
      a
      2
      )2+
      a2
      4

      当1＜
      a
      2
      ≤
      3
      2
      ，即2＜a≤3时，f（x）min=f（2）=2a-4
      当
      a
      2
      ＞
      3
      2
      ，即a＞3时，f（x）min=f（1）=a-1
      ∴f(x)      min=
      {
      2a-4，2＜a≤3
      a-1，a＞3

      （Ⅲ）f(x)=
      {
      x(x-a)，x≥a
      x(a-x)，x＜a


      ①当a＞0时，图象如上图左所示
      由
      {
      y=
      a2
      4
      y=x(x-a)
      得x=
      (
      √2
      +1)a
      2

      ∴0≤m＜
      a
      2
      ，a＜n≤
      √2
      +1
      2
      a
      ②当a＜0时，图象如上图右所示
      由
      {
      y=-
      a2
      4
      y=x(a-x)
      得x=
      (1+
      √2)
      2
      a
      ∴
      1+
      √2
      2
      a≤m＜a，
      a
      2
      ＜n≤0
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