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已知函数f(x)=x2+a|lnx-1|,g(x)=x|x-a|+2-2ln2,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(Ⅱ)若f(x)≥32a,x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围;(Ⅲ)对任意x1∈[1,+∞),总存在惟一的x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
+a|lnx-1|,g(x)=x|x-a|+2-2ln2,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)≥
3
2
a,x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)对任意x
1
∈[1,+∞),总存在惟一的x
2
∈[2,+∞),使得f(x
1
)=g(x
2
)成立,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)当a=1,x∈[1,e]时f(x)=x
2
-lnx+1,f′(x)=2x-
1
x
≥f′(1)=1,
所以f(x)在[1,e]递增,所以f(x)
max
=f(e)=e
2
(4分)
(Ⅱ)①当x≥e时,f(x)=x
2
+alnx-a,f'(x)=2x+
a
x
,a>0,∴f(x)>0恒成立,
∴f(x)在[e,+∞)上增函数,故当x=e时,y
min
=f(e)=e
2
(5分)
②当1≤x<e时,f(x)=x
2
-alnx+a,f'(x)=2x-
a
x
=
2
x
(x+
√
a
2
)(x-
√
a
2
),
(i)当
√
a
2
≤1即0<a≤2时,f'(x)在x∈(1,e)时为正数,所以f(x)在区间[1,e)上为增函数,
故当x=1时,y
min
=1+a,且此时f(1)<f(e)=e
2
(7分)
(ii)当1<
√
a
2
<e,即2<a<2e
2
时,f'(x)在x∈(1,
√
a
2
)时为负数,在间x∈(
√
a
2
,e)时为正数,
所以f(x)在区间[1,
√
a
2
)上为减函数,在(
√
a
2
,e]上为增函数,故当x=
√
a
2
时,y
min
=
3a
2
-
a
2
ln,
且此时f(
√
a
2
)<f(e)=e
2
(8分)
(iii)当
√
a
2
≥e,即a≥2e
2
时,f'(x)在x∈(1,e)时为负数,所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,
故当x=e时,y
min
=f(e)=e
2
(9分)
综上所述,函数y=f(x)的最小值为y
min
=
{
1+a ,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
2<a≤2e
2
e
2
,a>2e
2
(10分)
所以当1+a≥
3
2
a时,得0<a≤2;当
3
2
a-
a
2
ln
a
2
≥
3
2
a(2<a<2e
2
)时,无解;
当
e
2
≥
3
2
a(a≥2e
2
)时,得a≤
√
2
3
e不成立.
综上,所求a的取值范围是0<a≤2(11分)
(Ⅲ)①当0<a≤2时,g(x)在[2,+∞)单调递增,由g(2)=6-2a-2ln2≤1+a,
得
5
3
-
2
3
ln2≤a≤2(12分)
②当1<
a
2
≤2时,g(x)在[2,+∞)先减后增,由g(2)=2a-2-2ln2<
3a
2
-
a
2
ln
a
2
,
得
a
2
+
a
2
ln
a
2
-2-2ln2<0,设h(t)=t+tlnt-2-2ln2(t=
a
2
),h'(t)=2+lnt>0(1<t<2),
所以h(t)单调递增且h(2)=0,所以h(t)<0恒成立得2<a<4(14分)
③当2<
a
2
≤e
2
时,f(x)在[2,
a
2
]递增,在[
a
2
,a]递减,
在[a,+∞)递增,所以由g(
a
2
)<
3a
2
-
a
2
ln
a
2
,
得
a
2
4
-
3a
2
+
a
2
ln
a
2
+2-2ln2<0,设m(t)=t
2
-3t+tlnt+2-2ln2,
则m'(t)=2t-2+lnt>0(t∈(2,e
2
),所以m(t)递增,且m(2)=0,
所以m(t)>0恒成立,无解.
④当a>2e
2
时,f(x)在[2,
a
2
]递增,在[
a
2
,a]递减,在[a,+∞)递增,
所以由g(
a
2
)<e
2
得
a
2
4
-e
2
+2-2ln2<0无解.
综上,所求a的取值范围是a∈[
5
3
-
2
3
ln2,4)
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单选题
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