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  • 定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2
      （1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
      （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=-1时，函数f（x）=1+x-x2=-（x-
      1
      2
      ）2+
      5
      4

      ∴f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
      ∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）
      因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
      ∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
      （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
      则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3
      ∴-3≤ax      2+x+1≤3
      ∴
      -x-4
      x2
      ≤a≤
      -x+2
      x2
      ，即-
      4
      x2
      -
      1
      x
      ≤a≤
      2
      x2
      -
      1
      x
      在[1，4]上恒成立，
      ∴（-
      4
      x2
      -
      1
      x
      ）max≤a≤（
      2
      x2
      -
      1
      x
      ）min，
      令t=
      1
      x
      ，则t∈[
      1
      4
      ，1]
      设g（t）=-4t      2-t=-4（t+
      1
      8
      ）2+
      1
      16
      ，则当t=
      1
      4
      时，g（t）的最大值为-
      1
      2

      再设h（t）=2t      2-t=2（t-
      1
      4
      ）2-
      1
      8
      ，则当t=
      1
      4
      时，h（t）的最小值为-
      1
      8

      ∴（-
      4
      x2
      -
      1
      x
      ）max=-
      1
      2
      ，（
      2
      x2
      -
      1
      x
      ）min=-
      1
      8

      所以，实数a的取值范围是[-
      1
      2
      ，-
      1
      8
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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