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  • 已知x∈R，函数f（x）=x+ax+1（x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知x∈R，函数f（x）=x+
      a
      x+1
      （x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：设x1、x2是[0，+∞）内任意两个实数，且x1＜x2则
      f（x      1）-f（x2）=x1+
      a
      x1 +1
      -x2-
      a
      x2+1

      =（x      1-x2）+
      a(x2-x1)
      (x1+1)(x2+1)
      =（x1-x2）（1-
      a
      (x1+1)( x2+1)
      ）．
      （i）当a＜1时，
      1-
      a
      (x1+1)( x2+1)
      =
      x1x2+x1+x2+1-a
      (x1+1)(x2+1)
      ＞0，（x1-x2）（1-
      a
      (x1+1)( x2+1)
      ）＜0
      即f（x      1）-f（x2）＜0
      因此，f（x）在[0，+∞）上时单调递增函数，故（f（x））      min=f（0）=a．
      （ii）当a≥1时，
      f（x）=x+
      a
      x+1
      =（x+1）+
      a
      x+1
      -1≥2
      √a
      -1．
      当且仅当x+1=
      a
      x+1
      ，即x=
      √a
      -1（
      √a
      -1∈[0，+∝））时，等号成立．
      于是，（f（x））      min=f（
      √a
      -1）=2
      √a
      -1．
      所以，（f（x））      min=
      {
      a(a＜1)
      2
      √a
      -1(a≥1)
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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