已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）={f(x)(x＞0)-f(x)(x＜0)（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=

{	f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

见解析

解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1═x²+2x+1．
∴F（x）=

{	x²+2x+1， x＞0 -x²-2x-1， x＜0

．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函数的对称轴为x=-

2-k

k-2

，
要使函数g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是单调函数，
则区间[-2，2]必在对称轴的一侧，
即

k-2

≥2或

k-2

≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤-2．

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