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  • 已知函数f(x)=x+1x+1，g(x)=ax+5-2a(a＞0)．（Ⅰ）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；（Ⅱ）若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g（m0）=f（m）成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      1
      x+1
      ，g(x)=ax+5-2a(a＞0)．
      （Ⅰ）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
      （Ⅱ）若对任意m∈[0，1]，总存在m      0∈[0，1]，使得g（m0）=f（m）成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，
      证明如下：设0≤x      1＜x2≤1，
      则      f1(x)-f2(x)=x1+
      1
      x1+1
      -x2-
      1
      x2+1
      =(x1-x2)+
      x2-x1
      (x1+1)(x2+1)
      =
      (x1-x2)(x1x2+x1+x2)
      (x1+1)(x2+1)
      ，
      ∵（x      1-x2）＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，（x1x2+x1+x2）＞0，
      ∴f      1（x）-f2（x）＜0，即f1（x）＜f2（x），
      ∴函数f（x）在[0，1]上的单调递增．
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当m∈[0，1]时，f(m)∈[1，
      3
      2
      ]，
      ∵a＞0，g（x）=ax+5-2a在[0，1]???的单调递增，
      ∴m      0∈[0，1]时，g（m0）∈[5-2a，5-a]．
      依题意，只需[1，
      3
      2
      ]?[5-2a，5-a]，
      ∴
      {
      5-2a≤1
      5-a≥
      3
      2
      ，
      解得2≤a≤
      7
      2
      ，
      即 实数a的取值范围[2，
      7
      2
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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