已知函数f（x）=x+1-aa-x（a∈R且x≠a）．（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x-a）?f（x）|，当a=-1时，求g（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（Ⅲ）设函数g（x）=x²+|（x-a）?f（x）|，当a=-1时，求g（x）的最小值．

见解析

证明：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可转化为：

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
与x取值无关
∴f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）证明：
a+

≤x≤a+1时， -a-1≤-x≤-a-

-1≤a-x≤-

，-2≤

a-x

≤-1
f（x）值域为[-3，-2]-3≤-1+

a-x

≤-2
（Ⅲ）解：当a=-1时，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）当x≥0时，g(x)=(x+

)²-

则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）当x≤0时，g(x)=(x-

)²-

则函数g（x）在（-∞，0]且x≠-1时单调递减，
g（x）_min=g（0）=0
综合得：当x≠-1时，g（x）的最小值是0．

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