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  • 已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，有f（x）=ax+lnx（其中e为自然对数的底，a∈R）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=ln|x||x|，x∈[-e，0）∪（0，e]，求证：当a=-1时，|f（x）|＞g（x）+12；（3）试问：是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，有f（x）=ax+lnx（其中e为自然对数的底，a∈R）．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）设g（x）=
      ln|x|
      |x|
      ，x∈[-e，0）∪（0，e]，求证：当a=-1时，|f（x）|＞g（x）+
      1
      2
      ；
      （3）试问：是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      （1）解：当x∈[-e，0）时，-x∈（0，e]，则f（-x）=a（-x）+ln（-x），
      又f（x）为奇函数，
      所以f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
      因此，f（x）=
      {
      ax-ln(-x)，-e≤x＜0
      ax+lnx，0＜x≤e
      ；
      （2）证明：a=-1，f（x）=
      {
      -x-ln(-x)，-e≤x＜0
      -x+lnx，0＜x≤e
      ，
      ∴|f（x）|=|x|-ln|x|为偶函数，故只要考虑x∈（0，e]时，f（x）=x-lnx＞0，
      而此时，g（x）=
      ln|x|
      |x|
      =
      lnx
      x
      ，x∈（0，e]
      f′（x）=1-
      1
      x
      ≥0可得，x≥1，f′（x）＜0可得，x＜1，
      ∴函数f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，e]单调递增，则f（x）      min=f（1）=1，
      ∴g′（x）=
      1-lnx
      x2
      ≥0在（0，e]上恒成立，则可得函数g（x）在（0，e]单调递增，则g（x）max=g（e）=
      1
      e
      ，
      而1＞
      1
      e
      +
      1
      2
      即f（x）min＞g（x）max+
      1
      2
      ，
      x∈[-e，0）同理可证，
      ∴|f（x）|＞g（x）+
      1
      2
      ；
      （3）假设存在a满足条件，
      由（1）可得，x∈[-e，0）f（x）=ax-ln（-x），
      f′（x）=a-
      1
      x
      ，令f′（x）＞0可得x＞
      1
      a
      ，f′（x）＜0可得x＜
      1
      a
      ，
      若-
      1
      e
      ＜a＜0，则函数在[
      1
      a
      ，0）单调递增，在[-e，
      1
      a
      ]单调递减，则f（x） min=f（
      1
      a
      ）=3，
      ∴a=-
      1
      e2
      ；
      若a≤-
      1
      e
      ，则函数在[-e，0）单调递增，则f（x）min=f（-
      1
      e
      ）=
      a
      e
      +1=3，
      a=2e（舍）
      故a=-
      1
      e2
      ．
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