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  • 已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-kx2+1的定义域为[α，β]．（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明．（Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R，恒有g(k)≤a?√1+k2成立，求实数a 的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=
      2x-k
      x2+1
      的定义域为[α，β]．
      （Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明．
      （Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R，恒有g(k)≤a?
      √1+k2
      成立，
      求实数a 的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）证一：设α≤x1＜x2≤β，则4x12-4tx1-1≤0，4x22-4tx2-1≤0，
      ∴4(      x
      2
      1
      +x
      2
      2
      )-4t(x1+x2)-2≤0， ∴2x1x2-t(x1+x2)-
      1
      2
      ＜0
      则f(x      2)-f(x1)=
      2x2-t
      x
      2
      2
      +1
      -
      2x1-t
      x
      2
      1
      +1
      =
      (x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]
      (x
      2
      2
      +1)(x
      2
      1
      +1)

      又t(x      1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+
      1
      2
      ＞0 ∴f(x2)-f(x1)＞0
      故f（x）在区间[α，β]上是增函数． …．…．（6分）
      证二：      f′(x)=
      -2x2+2kx+2
      (x2+1)2
      ，x∈[
      k-
      √k2+1
      2
      ，
      k+
      √k2+1
      2
      ]
      易知：当x∈[α，β]时，4x      2-4kx-1≤0，∴-2x2+2kx+2≥
      3
      2
      ∴f′(x)≥0
      故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
      （Ⅱ）g(k)=f(β)-f(α)=
      √k2+1
      (16k2+40)
      16k2+25
      ≤a?
      √1+k2
      恒成立．a≥
      16k2+40
      16k2+25
      =1+
      15
      16k2+25
      ，考虑
      15
      16k2+25
      的最大值为
      3
      5
      ，∴a≥
      8
      5
      …（13分）
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