函数f（x）=k?a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+bf(x)-1是奇函数，求b的值；（3）在（2）的条件下判断函数g（x）的单调性，并用定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）=k?a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=

f(x)+b

f(x)-1

是奇函数，求b的值；
（3）在（2）的条件下判断函数g（x）的单调性，并用定义证明你的结论．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数的图象过点A（0，1），B（3，8）
∴

{	k=1 k?a^-3=8

，解得k=1，a=

，
∴f（x）=2^x
（2）由（1）得，g(x)=

f(x)+b

f(x)-1

2^x+b

2^x-1

，则2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函数g（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵函数g（x）是奇函数
∴g(-x)=

2^-x+b

2^-x-1

=-g(x)=-

2^x+b

2^x-1

，
∴

2^x(2^-x+b)

2^x(2^-x-1)

2^x+b

2^x-1

，即

1+b?2^x

1-2^x

2^x+b

1-2^x

，
∴1+b?2^x=2^x+b，即（b-1）?（2^x-1）=0
对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，g(x)=

2^x+1

2^x-1

2^x-1+2

2^x-1

=1+

2^x-1

，且x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
当x＞0时，g（x）为单调递减的函数；当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数，
证明如下：
设0＜x₁＜x₂，则g(x₁)-g(x₂)=

2^x₁-1

2^x₂-1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

∵0＜x₁＜x₂，∴2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0，2^x₂-2^x₁＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），即g（x）为单调递减的函数
同理可证，当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数．

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