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设函数f(x)=ax+a+1x (a>0),g(x)=4-x,已知满足f(x)=g(x)的x有且只有一个.(1)求a的值,并证明函数f(x)在(2,+∞)上为增函数;(2)若函数h(x)=k-f(x)-g(x)(其中x∈(0,+∞),k∈R)在[m,n]上的值域为[m,n](0<m<n),求k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=ax+
a+1
x
(a>0),g(x)=4-x,已知满足f(x)=g(x)的x有且只有一个.
(1)求a的值,并证明函数f(x)在(2,+∞)上为增函数;
(2)若函数h(x)=k-f(x)-g(x)(其中x∈(0,+∞),k∈R)在[m,n]上的值域为[m,n](0<m<n),求k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)ax+
a+1
x
=4-x,得(a+1)x
2
-4x+a+1=0(*)
由a>0知x=0不是方程(*)的解,
故△=16-4(a+1)
2
=0,得a=1.…(2分)
设x
1
>x
2
>2,
可得:f(x
1
)-f(x
2
)=…=
(x
1
-x
2
)(x
1
x
2
-2)
x
1
x
2
>0,…(4分)
所以,函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.…(5分)
(2)h(x)=k-4-
2
x
在(0,+∞)上为增函数,…(6分)
h(x)在[m,n]上的值域为[m,n],故有h(m)=m,h(n)=n,
所以h(x)=x在(0,+∞)上有两个不等的实根.…(7分)
得方程:k-4-
2
x
=x,即x
2
-(k-4)x+2=0
在(0,+∞)上有两个不等的实根x
1
,x
2
.
所以:
{
△=(k-4)
2
-8>0
x
1
+x
2
=k-4>0
x
1
x
2
=2>0
,(9分)
得k>4+2
√
2
.…(11分)
所以k的取值范围为(4+2
√
2
,
+∞)…(12分)
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第1章 集合
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集合的含义
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