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  • 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x1，x2∈R，且x1≠x2，若g（x1）=g（x2）=0，求|x1-x2|的取值范围；（3）求证：f（m+3）＞0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
      （1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；
      （2）设g（x）=f（x）+bx，对于x      1，x2∈R，且x1≠x2，若g（x1）=g（x2）=0，求|x1-x2|的取值范围；
      （3）求证：f（m+3）＞0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵存在实数m，使f（m）=-a．
      ∴方程ax      2+bx+c+a=0有实根?△=b2-4a（a+c）≥0…（*）
      ∵f(1)=0，
      ∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0
      再将a+c=-b代入不等式（*），得
      b      2-4a?（-b）=b（b+4a）≥0，
      ∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
      ∴b≥0.
      可得二次函数f（x）=ax      2+bx+c图象开口向上，且关于直线x=-
      b
      2a
      对称
      ∵-
      b
      2a
      ＜0，f（x）在[-
      b
      2a
      ，+∞）上是增函数．
      ∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分）
      （2）根据题意，得x      1，x2是方程g（x）=0即ax2+2bx+c=0的两实根．
      根据根与系数的关系得：
      {
      x1+x2=-
      2b
      a
      x1?x2=
      c
      a

      ∴|x      1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=
      4b2
      a2
      -
      4c
      a
      =
      4
      a2
      (b2-ac)=
      4
      a2
      [(a+c)2-ac]
      =4[(
      c
      a
      )2+
      c
      a
      +1]=4(
      c
      a
      +
      1
      2
      )2+3.，
      ∵a＞b=-（a+c）．
      ∴2a＞-c＞0?
      c
      a
      ＞-2，又a+c=-b≤0，
      ∴
      c
      a
      ≤-1?(
      c
      a
      +
      1
      2
      )2∈[
      1
      4
      ，
      9
      4
      )．
      ∴|x      1-x2|∈[2，2
      √3
      )，…．（8分）
      （3）∵f(1)=0．设f(x)=a(x-1)(x-
      c
      a
      )．
      ∵f（m）=-a，
      ∴a(m-1)(m-
      c
      a
      )=-a?(m-1)(m-
      c
      a
      )=-1＜0，
      ∴
      c
      a
      ＜m＜1?m＞-2?m+3＞1
      ∵f（x）在区间[0，+∞）上是增函数
      ∴f(m+3)＞f(1)=0.．…（14分）
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