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  • 定义在（0，+∞）的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，x＞1时f（x）＞0．（1）求f(12)；（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在（0，+∞）的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，x＞1时f（x）＞0．
      （1）求f(
      1
      2
      )；
      （2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），
      ∴f（x）=f（x×1）=f（x）+f（1），
      ∴f（1）=0，
      ∵f（1）=f（2×
      1
      2
      ）=f（2）+f（
      1
      2
      ）=0
      ∴f（
      1
      2
      ）=-f（2）=-1
      （2）设x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      f（x      2）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      x1）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      ）+f（x1）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      ）
      ∵x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      ∴
      x2
      x1
      ＞ 1
      ∵x＞1时f（x）＞0，∴f（
      x2
      x1
      ）＞0
      ∴f（x      2）-f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）
      ∴y=f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数
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