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年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知函数f(x)=2x+3x+1 (x≠-1)．（1）求函数f （ x ）的值域；（2）求函数f （ x ）的反函数f-1（x）；（3）证明：f-1（x）在（2，+∞）上为减函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

2x+3

x+1

(x≠-1)．
（1）求函数f （ x ）的值域；
（2）求函数f （ x ）的反函数f^-1（x）；
（3）证明：f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数．

试题解答

见解析

解：（1）函数f(x)=

2x+3

x+1

=2+

1

x+1

∵

1

x+1

≠0
∴函数f （ x ）≠2
故函数f （ x ）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)=

2x+3

x+1

=2+

1

x+1

∴y-2=

1

x+1

∴x+1=

1

y-2

∴x=

1

y-2

-1（y≠2）
即f^-1（x）=

1

x-2

-1（x≠2）
证明；（3）任取区间（2，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-2＞0，x₂-2＞，x₂-x₁＞0
则f（x₁）-f（x₂）=（

1

x₁-2

-1）-（

1

x₂-2

-1）
=

1

x₁-2

-

1

x₂-2

=

x₂-x₁

(x₁-2)?(x₂-2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数

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必修1 人教A版单选题高中数学

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