设a＞0，f(x)=2xa-a2x是R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在R上为增函数；（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m2）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

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设a＞0，f(x)=

2^x

是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在R上为增函数；
（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f(x)=

2^x

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即

-a=0，
∴a=±1，
∵a＞0，∴取a=1；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=2^x-

2^x

，现证明f（x）在R上是增函数；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（2^x₁-

2^x₁

）-（2^x₂-

2^x₂

）
=（2^x₁-2^x₂）+

2^x₁-2^x₂

2^x₁2^x₂

=（2^x₁-2^x₂）（1+

2^x₁2^x₂

）；
∵x₁＜x₂，
∴0＜2^x₁＜2^x₂，
∴2^x₁-2^x₂＜0，1+

2^x₁2^x₂

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函数；
（Ⅲ）∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
即f（1-m）＜-f（1-m²）；
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴-f（1-m²）=f（m²-1），
∴f（1-m）＜f（m²-1）；
又∵f（x）是R上的增函数，
∴1-m＜m²-1，
即m²+m-2＞0，
解得m＞1或m＜-2；
∴解集为{m|m＞1或m＜-2}．

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设a＞0，f(x)=2xa-a2x是R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在R上为增函数；（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m2）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

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