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已知定义在(1,+∞)上的函数f(x)=1a-1x-1(a>0)(Ⅰ)若f(2t-3)>f(4-t),求实数t的取值范围;(Ⅱ)若f(x)≤4x对(1,+∞)上的任意x都成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在(1,+∞)上的函数f(x)=
1
a
-
1
x-1
(a>0)
(Ⅰ)若f(2t-3)>f(4-t),求实数t的取值范围;
(Ⅱ)若f(x)≤4x对(1,+∞)上的任意x都成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由于定义在(1,+∞)上的函数f(x)=
1
a
-
1
x-1
(a>0)满足f(2t-3)>f(4-t),
则
{
2t-3>4-t
2t-3>1
4-t>1
解得t∈(
7
3
,3)
(2)由f(x)≤4x得
1
a
≤4x+
1
x-1
,
∴
1
a
≤4(x-1)+
1
x-1
+4∵4(x-1)+
1
x-1
≥4(x=
3
2
时取等号)
∴
1
a
≤8∵a>0∴a≥
1
8
(3)由于f(x)在(1,+∞)单调递增,∴
{
1
a
-
1
m-1
=m
1
a
-
1
n-1
=n
∴m,n为方程
1
a
-
1
x-1
=x的两个大于1的不等实根
令x-1=u(u>0)
由y=
1
a
-1与y=u+
1
u
(u>0)的图象可得
1
a
-1>2∴0<a<
1
3
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必修1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
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函数零点的判定定理
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