已知定义域为R的函数y=f（x）和y=g（x），它们分别满足条件：对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；对任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）?g（b），且对任意x＞0，g（x）＞1．（1）求f（0）、g（0）的值；（2）证明函数y=f（x）是奇函数；（3）证明x＜0时，0＜g（x）＜1，且函数y=g（x）在R上是增函数；（4）试各举出一个符合函数y=f（x）和y=g（x）的实例．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数y=f（x）和y=g（x），它们分别满足条件：对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；对任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）?g（b），且对任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）证明函数y=f（x）是奇函数；
（3）证明x＜0时，0＜g（x）＜1，且函数y=g（x）在R上是增函数；
（4）试各举出一个符合函数y=f（x）和y=g（x）的实例．

试题解答

见解析

解：（1）令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）?f（0）=0
g（0）=g（0）?g（0）?g（0）=0或g（0）=1，
若g（0）=0，则g（x）=0，与条件矛盾．
故g（0）=1（也可令a=0，b=1，则不需要检验）
（2）f（x）的定义域为R，关于数0对称，
令a=x，b=-x，则f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
（3）当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，
又g（x）?g（-x）=g（0）=1?0＜g（x）＜1
故?x∈R，g（x）＞0
证法一：设x₁，x₂为R上任意两个实数，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，g（x₁-x₂）＜lg（x₁）-g（x₂）
=g[（x₁-x₂）+x₂]-g（x₂）=[g（x₁-x₂）-1]?g（x₂）＜0．
故g（x）为R上的增函数．
证法二：设x₁，x₂为R上任意两个实数，且x₁＜x₂，

g(x₁)

g(x₂)

g[(x₁-x₂)+x₂]

g(x₂)

=g(x₁-x₂)＜1
∴g（x）为R上的增函数．
（4）f（x）=2x；g（x）=2^x．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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